2018年山东省临沂市中考压轴题倒一(抛物线与直角三角形）
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(2018·临沂市)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝1/2DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在．请说明理由.
【分析】(1)由点B的坐标结合条件求出点A的坐标，运用待定系数法求出字母b、c的值即可得到抛物线的解析式；
(2)①设点P的横坐标为m，分别用含m的代数式表示点P的纵坐标以及点D和点E的坐标，根据PE＝1/2DE建立关于m的方程即可求解；
②分别以点A、B为直角顶点作直角三角形或以AB为斜边作直角三角形，利用三角函数或构造“一线三等角”三角形相似，列方程求解即可.
【图文解析】
(1)易得点C（-2，0），点A（-2，6），抛物线解析式为y=-x2-3x+4；
(2)由点A、B坐标可求得直线AB解析式为y=－2x+2，可设点P（m,-m2-3m+4），-2<m<1，则点D（m,0）、E（m,-2m+2），如图所示。则PE=yP-yE=－m2－m+2，ED=yE-yD=-2m+2，由PE＝1/2DE，可得－m2－m+2=－m+1，解得：m1=－1，m2=1(舍去)。
则点P为（－1，6）.此时点E（-1，4），D（-1，0）.
则点P为（－1，6）.此时点E（-1，4），D（-1，0）.
① 由点的坐标可求得BE=2√5，AE=√5，cos∠BED=cos∠AEM=2/√5。
当△ABM为直角三角形时，分三类情况讨论：
(Ⅰ)∠BAM=90°，如图所示，过点A作AM⊥AB交直线PD于点M，由cos∠AEM=AE/ME=2/√5，求得ME=2.5，则点M1（-1，6.5）；
(Ⅱ)∠ABM=90°，则过点B作BM⊥AB交直线DE于点M，由cos∠BED=BE/ME=2/√5，可求得ME=5，则点M2(-1，-1)；
(Ⅲ)∠AMB=90°,以AB为直径画圆,与直线DE的交点即为点M,如图所示：
过点M作MF⊥AC于点F,过点B作BG⊥直线FM于点G,则易得AFM∽△MGB,AF/MG=FM/GB；且MF=1,MG=2,设点M(-1，n),则AF=6-n,BG=－n；即：(6-n)/2=1/(-n)，解得n=3±√11；当点M在AB上方时，同理可求。即点M3(-1，3+√11)，M4(-1，3-√11).
综上所述：点M的坐标为(-1,6.5)或(-1,-1) 或(-1,3+√11)或(-1,3-√11).
【反思】
1、求直角三角形利用分类讨论的方法，通过哪个角为直角来分类；
2、当直角顶点为限制条件的动点时，可通过“一线三等角”构造三角形相似，利用线段之间的比例关系建立方程，可适当减少计算量。
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